欧姆定律的应用领域

电机工程学和电子工程学
在电机工程学和电子工程学里,欧姆定律妙用无穷,因为它能够在宏观层次表达电压与电流之间的关系,即电路元件两端的电压与通过的电流之间的关系。
物理学
在物理学里,对于物质的微观层次电性质研究,会使用到的欧姆定律,以矢量方程表达为 , 处于均匀外电场的均匀截面导电体(例如,电线)。
在导体内任意两点g、h,定义电压为将单位电荷从点g移动到点h,电场力所需做的机械功:
其中,Vgh是电压,w是机械功,q是电荷量,dL 是微小线元素。
假设,沿着积分路径,电流密度J=jI为均匀电流密度,并且平行于微小线元素:
dL=dlI;其中,I是积分路径的单位矢量。
那么,可以得到电压:
Vgh=Jρl;其中,l是积分路径的径长。
假设导体具有均匀的电阻率,则通过导体的电流密度也是均匀的:
J=I/a;(黑体字部分为矢量(台湾称做向量)其中,a是导体的截面面积。
电压Vgh简写为V。电压与电流成正比:
V=Vgh=Iρl/a。总结,电阻与电阻率的关系为
R= ρl/a。假设J> 0 ,则V> 0 ;将单位电荷从点g移动到点h,电场力需要作的机械功w> 0 。所以,点g的电势比点h的电势高,从点g到点h的电势差为V。从点g到点h,电压降是V;从点h到点g,电压升是V。
给予一个具有完美晶格的晶体,移动于这晶体的电子,其运动等价于移动于自由空间的具有有效质量(effective mass)的电子的运动。所以,假设热运动足够微小,周期性结构没有偏差,则这晶体的电阻等于零。但是,真实晶体并不完美,时常会出现晶体缺陷(crystallographic defect),有些晶格点的原子可能不存在,可能会被杂质侵占。这样,晶格的周期性会被扰动,因而电子会发生散射。另外,假设温度大于绝对温度,则处于晶格点的原子会发生热震动,会有热震动的粒子,即声子,移动于晶体。温度越高,声子越多。声子会与电子发生碰撞,这过程称为晶格散射(lattice scattering)。主要由于上述两种散射,自由电子的流动会被阻碍,晶体因此具有有限电阻。
凝聚态物理学
凝聚态物理学研究物质的性质,特别是其电子结构。在凝聚态物理学里,欧姆定律更复杂、更广义的方程非常重要,属于本构方程(constitutive equation)与运输系数理论(theory of transport coefficients)的范围。

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